Thứ Năm, Tháng Bảy 7, 2022
HomeWikiTích vectơ – Wikipedia tiếng Việt

Tích vectơ – Wikipedia tiếng Việt

Minh họa hiệu quả phép nhân vectơ trong hệ tọa độ bên phải

Trong toán học, phép tích vectơ hay nhân vectơ hay tích có hướng là một phép toán nhị nguyên trên các vectơ trong không gian vectơ ba chiều. Nó là một trong hai phép nhân thường gặp giữa các vectơ (phép toán kia là nhân vô hướng). Nó khác nhân vô hướng ở chỗ là kết quả thu được là một giả vectơ thay cho một vô hướng. Kết quả này vuông góc với mặt phẳng chứa hai vectơ đầu vào của phép nhân.

Phép nhân vectơ của vectơ ab được ký hiệu là a × b hay

[

a

,

b

]

{\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}}]}

{\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}}]}, định nghĩa bởi:

a

×

b

=

n
^

|

a

|

|

b

|

sin

θ

{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {\hat {n}} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \theta }

{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {\hat {n}} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \theta }

với θ là góc giữa ab (0° ≤ θ ≤ 180°) nằm trên mặt phẳng chứa ab, và n là vectơ đơn vị vuông góc với ab.

Thực tế có hai vectơ n thỏa mãn điều kiện vuông góc với ab (khi ab không cùng phương), vì nếu n vuông góc với ab thì –n cũng vậy.

Việc chọn hướng của véctơ n phụ thuộc vào hệ tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay trái hay quy tắc bàn tay phải. (a, b, a × b) tuân cùng quy tắc với hệ tọa độ đang sử dụng để xác định các vectơ.

Vì tác dụng phụ thuộc vào vào quy ước hệ tọa độ, nó được gọi là giả vectơ. May mắn là trong những hiện tượng kỳ lạ tự nhiên, nhân vectơ luôn đi theo cặp đối chiều nhau, nên tác dụng sau cuối không phụ thuộc vào lựa chọn hệ tọa độ .
Phép tính này phản giao hoán :

a × b = -(b × a)

Nó phân phối được trên phép cộng vectơ :

a × (b + c) = a × b + a × c

Nó tích hợp được với nhân vô hướng :

(r.a) × b = a × (r.b) = r.(a × b).

với “. ” chỉ nhân vô hướng .Nó không có tính tích hợp ,

(a × b) × c≠ { \ displaystyle \ neq }{\displaystyle \neq }a × (b × c)

(Ví dụ: khi a song song với b vế trái bằng 0 trong khi về phải (nói chung) khác không.)

Nó thỏa mãn đẳng thức Jacobi:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

2 vectơ không cùng phương thì tích có hướng là một vectơ vuông góc với 2 vectơ đã cho .

Các tính chất trên cho thấy không gian vectơ ba chiều với phép nhân vec tơ tạo thành một đại số Lie.

Tích có hướng trong hệ tọa độ Descartes[sửa|sửa mã nguồn]

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho

n

1

=
(

A

1

,

B

1

,

C

1

)

{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})}

{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})}

n

2

=
(

A

2

,

B

2

,

C

2

)

{\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})}

{\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})}, khi đó tích có hướng giữa 2 vectơ là vectơ có tọa độ

[

n

1

,

n

2

]
=
(

|

B

1

C

1

B

2

C

2

|

,

|

C

1

A

1

C

2

A

2

|

,

|

A

1

B

1

A

2

B

2

|

)

{\displaystyle [{\vec {n_{1}}},{\vec {n_{2}}}]=({\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}})}

{\displaystyle [{\vec {n_{1}}},{\vec {n_{2}}}]=({\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}})}

Ý nghĩa hình học[sửa|sửa mã nguồn]

Nhiều công thức tính trong khoảng trống vectơ ba chiều tương quan đến nhân vectơ, nhờ vào tác dụng là vectơ vuông góc với hai vectơ nguồn vào .

  • Diện tích hình bình hành ABCD: S = | [ A B → ; A D → ] | = A B. A D. s i n ( A ) { \ displaystyle S = \ left \ vert [ { \ vec { AB } } ; { \ vec { AD } } ] \ right \ vert = AB.AD.sin ( A ) }{\displaystyle S=\left\vert [{\vec {AB}};{\vec {AD}}]\right\vert =AB.AD.sin(A)}
  • Thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’: V = | [ A B → ; A D → ] ⋅ A A ′ → | { \ displaystyle V = \ left \ vert [ { \ vec { AB } } ; { \ vec { AD } } ] \ cdot { \ vec { AA ‘ } } \ right \ vert }{\displaystyle V=\left\vert [{\vec {AB}};{\vec {AD}}]\cdot {\vec {AA'}}\right\vert }
  • 2 vector u → { \ displaystyle { \ vec { u } } }{\vec  {u}}v → { \ displaystyle { \ vec { v } } }{\vec  {v}}⇔ { \ displaystyle \ Leftrightarrow }\Leftrightarrow [ u → ; v → ] = 0 → { \ displaystyle [ { \ vec { u } } ; { \ vec { v } } ] = { \ vec { 0 } } }{\displaystyle [{\vec {u}};{\vec {v}}]={\vec {0}}}
  • 3 vector u → { \ displaystyle { \ vec { u } } }v → { \ displaystyle { \ vec { v } } }w → { \ displaystyle { \ vec { w } } }{\displaystyle {\vec {w}}}⇔ { \ displaystyle \ Leftrightarrow }

    [

    u

    ;

    v

    ]
    .

    w

    =
    0

    {\displaystyle [{\vec {u}};{\vec {v}}].{\vec {w}}=0}

    {\displaystyle [{\vec {u}};{\vec {v}}].{\vec {w}}=0}

Ứng dụng trong vật lý[sửa|sửa mã nguồn]

Phép tính này Open ở công thức tính lực Lorentz do một trường điện từ tác động ảnh hưởng lên một điện tích. Công thức tính mômen lực hay mômen động lượng cũng tương quan đến nhân vectơ .

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

Source: https://entechgadget.com
Category: Wiki

RELATED ARTICLES

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here

Bài viết hay nhất

DANH MỤC WEBSITE